Parecer sobre o Exame Nacional de Matemática A (1.ª fase 2017)

Desde que realizei pela primeira vez o exame nacional de Matemática A, quando concluí o 12.º ano (em 2008, portanto), tenho mantido a tradição de, todos os anos, consultar e resolver este mesmo exame, pelo menos a versão da 1.ª fase de exames. Todos os anos exprimo para mim ou entre colegas de curso a minha opinião sobre o exame: o grau de dificuldade, as peculiaridades de algumas questões,...

Este ano, aproveitando a existência deste blogue, decidi tornar pública a minha opinião. Vou aqui deixar o meu parecer sobre o exame de Matemática A (Prova 635); este tem o valor que tem, é simplesmente a opinião de alguém cuja única vantagem sobre a generalidade das pessoas é um conhecimento mais aprofundado de Matemática, nada mais.

Aqui fica, para quem tiver interesse nele. O enunciado do exame pode ser encontrado em:

• Versão 1
• Versão 2

Os critérios de correcção podem ser encontrados aqui.

Parecer sobre o Exame Nacional de Matemática A 

Grupo 1

O item 1 é uma questão elementar de Combinatória, não tendo um grau de dificuldade superior ao que é habitual ser trabalhado neste assunto no 12.º ano.

O item 2 é, como tem vindo a ser costume, uma questão sobre Probabilidade que envolve a mobilização do conhecimento da fórmula que define a probabilidade condicionada. Ao contrário de exames anteriores, em que este item envolve acontecimentos abstractos e alguma informação é dada sobre a probabilidade destes, no exame deste ano esta questão envolve uma uma situação concreta, o que acrescenta a dificuldade de interpretar correctamente os dados fornecidos.

O item 3 é de resolução simples, desde que se tenha em mente a interpretação geométrica da segunda derivada de uma função num ponto como indicadora do sentido da concavidade do respectivo gráfico.

O item 4 exige alguns conhecimentos sobre a determinação de assímptotas oblíquas. Pela especificidade do tema e pelo facto de o limite apresentado necessitar de alguma reflexão, considero que o item tem uma dificuldade ligeiramente acrescida.

O item 5 é uma questão bastante directa sobre Trigonometria que exige, ainda assim, alguma atenção.

O item 6 requer alguma familiaridade com as relações entre as funções trigonométricas. Apesar de não ter um grau de dificuldade elevado, algum à-vontade com o assunto é desejável para que o problema possa ser abordado de forma correcta.

O item 7 não é inteiramente directo. Requer a identificação correcta de uma dada região do plano complexo para que a sua área possa ser determinada. A interpretação errada das condições dadas pode levar a confusão na posterior determinação da área, daí que o considere um item de dificuldade média. 

O item 8 é uma questão sobre sucessões, tema de 11.º ano; por esta razão, pode ter sido considerado por alguns como mais difícil, especialmente porque requer o conhecimento de alguma terminologia que tem tendência a ser descurada (não é costume insistir-se muito no conhecimento de definições precisas de conceitos na Matemática do ensino secundário, infelizmente). 

Apreciação geral do Grupo I: 

• O grupo I do exame corresponde, em grande medida, ao que tem sido costume em exames de anos anteriores, à excepção de uma ou duas questões de carácter um pouco diferente. O grau de dificuldade, em termos matemáticos, não é muito elevado. 
• É de salientar a presença de questões que, mais do que a capacidade de cálculo, exigem o conhecimento de conceitos e factos; estes, apesar de elementares, podem não ser completamente dominados por quem se preparou para o exame resolvendo exercícios de natureza mais "calculatória". É uma opção com a qual concordo, se bem que a natureza destes exercícios e a sua relativa novidade podem ser um factor que leve os alunos a considerar este grupo um pouco mais difícil.

Grupo 2

O item 1 é típico de quase todos os exames nacionais de Matemática A que me vêm à memória: um exercício sobre números complexos que envolve, essencialmente, cálculos e conversões entre a forma algébrica e a forma trigonométrica de um número complexo. Há alguma novidade no que é pedido e a questão não é tão directa como por vezes acontece (é referida a distância entre dois complexos). Também pode causar alguma dificuldade o facto de ser mais útil ter os complexos dados na forma algébrica (ao contrário do que é usual nestes exercícios), mas o complexo $z_1$ ser um quociente de complexos, usualmente mais fácil de calcular na forma trigonométrica.

O item 2.1 é de resolução praticamente imediata (desde que o aluno não interprete "raio" em vez de "diâmetro" na questão).

O item 2.2 também tem uma resolução simples. Se o aluno determinar as componentes dos vectores dados (o que não é difícil, por serem vectores directores de um eixo coordenado), o cálculo do produto interno é muito simples. Se for usada a fórmula que envolve as normas dos vectores e o seu ângulo, é necessário ter apenas em atenção os sentidos opostos dos vectores (o que torna o produto interno negativo).

O item 2.3 envolve apenas manipulações usuais com equações de planos e rectas no espaço e não apresenta dificuldade para quem preparou bem o assunto.

O item 2.4 é interessante na medida em que envolve Probabilidade e Geometria. Não é novidade; já em exames anteriores, se bem me recordo, tal aconteceu (pelo menos em exames nacionais antigos, nos quais também surgiam questões sobre Geometria). A maior dificuldade é a contagem cuidadosa dos casos favoráveis, que torna o item no mais difícil de entre os que constituem o item 2. Devo confessar que a expressão para o número de casos favoráveis que consta dos critérios de classificação não é, para mim, a mais "natural", mas isso é uma questão inteiramente pessoal.

O item 3 também é relativamente comum no contexto dos exames nacionais de Matemática A. A novidade (e a dificuldade) do exercício está no facto de a probabilidade pedida vir em função de uma variável desconhecida (o número $n$ de bolas no saco). Esta opção faz com que o exercício tenha necessariamente de ser resolvido através de algum raciocínio e não apenas uma contagem elementar directa dos casos possíveis e favoráveis.

O item 4.1 envolve alguns cálculos directos mas potencialmente morosos. A dificuldade deste item, no entanto, não está nos cálculos, mas na interpretação que é pedida dos resultados. Não só não é completamente imediato pela expressão dada o que esta significa (tem um aspecto de distância, mas o facto de cada um dos pontos envolvidos ter uma coordenada nula simplifica a expressão e torna-a menos transparente), como não é evidente qual a utilidade do resultado obtido no contexto do problema. Qual é o interesse de conhecer o ponto à superfície do rio que está a uma distância de 2 metros do ponto inicial da ponte? Parece-me que o exercício foi concebido com a intenção de existir um item de "modelação" de uma situação real no exame (o que é de louvar). No entanto, como tantos outros exercícios "em contexto real", sai o tiro pela culatra e a aplicação tem um aspecto artificial, sem interesse aparente, "montada" apenas para os propósitos do exercício.

O item 4.2 também envolve a interpretação da situação dada e tem muito mais interesse do que o item 4.1, não padecendo do mesmo mal. É, a meu ver, um item bem conseguido na medida em que exige a aplicação do cálculo diferencial sem que isso seja completamente óbvio pelo enunciado. Para além disso, o item tem uma dificuldade apropriada em termos da complexidade da função dada e em termos do cálculo do zero da derivada (apesar do aspecto complicado, o cálculo do zero da derivada revela-se simples). 

O item 5.1 é usual em exame. Está construído de forma a poder avaliar o conhecimento de dois limites notáveis. Os cálculos dos limites envolvem mudanças de variável em ambos os casos; não sendo limites difíceis para quem treinou o assunto, no contexto da prova pode ser excessivo inserir um exercício tão moroso. 

O item 5.2 reduz-se a uma equação trigonométrica relativamente simples. Não apresente dificuldades de maior.

O item 5.3, de utilização da calculadora gráfica. Sou usualmente céptico em relação ao conteúdo matemático realmente avaliado por este género de exercício, mas tem sido frequente nos últimos anos que estes itens não se reduzam ao uso da calculadora, mas exijam também alguma reflexão prévia. O mesmo acontece com esta prova. No entanto, questiono a utilidade deste exercício numa prova já relativamente longa e com vários itens que exigem alguma reflexão. (Talvez os alunos se sintam defraudados caso gastem dinheiro com uma calculadora que se revele praticamente inútil no exame a não ser para o uso de auxiliares de memória electrónicos?)

O item 6 vem dar continuidade à prática, usual nos últimos anos, de incluir no exame uma questão mais difícil, normalmente pela sua natureza mais teórica ou abstracta ou pela exigência de pensar "fora da caixa". É uma prática que costumo subscrever. Não sei até que ponto isso foi bem conseguido neste item. Ao contrário do que já aconteceu, o exercício envolvia mais a manipulação de expressões algébricas (não inteiramente directa, até porque existiam várias formas de abordar o problema) do que propriamente a compreensão de conceitos matemáticos, o que talvez fosse uma melhor opção para um exercício desta natureza. 

Apreciação geral do Grupo II: 

• O grupo II do exame tinha uma dificuldade moderada, consequência sobretudo do facto de haver uma quantidade razoável de questões "indirectas" nas quais a obtenção da resposta passa por um misto de compreensão dos conceitos envolvidos no problema e realização de vários passos mais ou menos elementares. Parece-me boa ideia que assim seja, mas a tentativa de manter o exame nos moldes dos exames dos anos anteriores enquanto, simultaneamente, se aumenta o grau de dificuldade de alguns itens, ainda que ligeiramente, pode fazer com a prova se torna cansativa ou mesmo demasiado longa para o tempo prescrito. Neste caso em particular, sinto que o item 2 poderia ser reduzido (um dos três primeiros itens poderia ser omitido, por exemplo), o item 4.1 deixa muito a desejar e poderia ser omitido e algum dos itens que constitui o item 5 poderia ser também omitido (o item 5.2 ou mesmo o item 5.3 de utilização da calculadora). 
• É de louvar a introdução de exercícios que exijam a interpretação de situações mais concretas, por oposição a itens que apelem apenas à memorização de procedimentos, mas é necessário fazer um esforço para que as situações incluídas sejam substanciais do ponto de vista da modelação. 
• É também de louvar a tentativa de uma maior integração entre os conteúdos do programa. É importante que a Matemática não seja vista como uma área fragmentada em assuntos disjuntos. 
• A "questão de selecção" (item 6) poderia ter sido mais bem conseguida. 

Termino aqui, espero que este (longo) artigo sobre o exame seja de interesse para alguém. Dada a subjectividade inerente a muito do que escrevi, estou aberto, naturalmente, a correcções e a opiniões discordantes.